I. Sachverhalt

B war vom 1. September 2018 bis zum 20. März 2020 als «Managing Director/Country Manager Switzerland» bei der A. AG tätig und vom 31. Januar 2019 bis zum 20. März 2020 zudem deren Verwaltungsratspräsident. Die Parteien verhandelten im Februar 2020 über eine Aufhebungsvereinbarung, die jedoch nicht zustande kam. Die Arbeitgeberin kündigte daraufhin am 26. Februar 2020 das Arbeitsverhältnis mit B per 31. August 2020.1

Am 22. April 2020 sprach die Arbeitgeberin gegenüber B eine «Abmahnung zur fristlosen Kündigung aus wichtigem Grund» aus. Am 30. April 2020 kündigte die Arbeitgeberin das Arbeitsverhältnis mit B fristlos aufgrund der von B ausgeübten Nebenbeschäftigungen sowie wegen angeblich von ihm verweigerten Arbeitsleistungen.

Der Arbeitnehmer klagte auf Lohnzahlung für den Zeitraum von April 2020 bis März 2021 auf die Beiträge an die berufliche Vorsorge und verlangte eine Pönale gemäss Art. 337c Abs. 3 OR. Die Arbeitgeberin erhob Widerklage. In der Folge reduzierte der Arbeitnehmer seine Klage in Bezug auf die Höhe der Pönale und zog sie betreffend Beiträge an die berufliche Vorsorge zurück.

Mit erstinstanzlichem Urteil wurde die Arbeitgeberin zur Lohnzahlung für April 2020, zu einer Entschädigung gemäss Art. 337c Abs. 1 OR für die Monate Mai bis August 2020 sowie einer Pönalen in Höhe eines Monatslohns gemäss Art. 337c Abs. 3 OR verpflichtet. Der Arbeitnehmer wurde zur Rückzahlung von zu Unrecht bezogenem Ferienlohn an die Arbeitgeberin verpflichtet. Gegen dieses Urteil erhob die Arbeitgeberin Berufung und...